Maxwell Gleichungen

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Inhaltsverzeichnis

1 Geschichte und Aussage
2 Quaternion-Darstellung
3 Umwandlung in die Vektornotation
4 Weblinks

[Bearbeiten] Geschichte und Aussage

Maxwell ist von der Idee ausgegangen, dass ein "Äther" existiert, mit einer Art "Elektrizität" - allerdings war das Elektron zu diesem Zeitpunkt noch unentdeckt. Danach wurde entdeckt, dass Verkettungen von Wellen existieren, die unter anderem transversal sein konnten (d.h. Die Schwingung erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). So wurde die elektromagnetische Welle als transversale Welle modelliert.

Die Aussage der Maxwellschen Feldgleichungen lässt sich in 3 Punkten kurz zusammenfassen:

Ein sich veränderndes Magnetfeld induziert ein elektrisches Feld in seinem Schlepptau, und umgekehrt.
Je schneller sich ein Magnetfeld im Laufe der Zeit verändert, umso stärker ist das induzierte elektrische Feld und umgekehrt.
Das induzierte elektrische Feld entwickelt sich senkrecht zum sich wandelnden Magnetfeld und umgekehrt.

[Bearbeiten] Quaternion-Darstellung

Sie lassen sich besonders kompakt mit Hilfe der Quaternion-Algebra formulieren. Die antisymmetrische Ableitung des magnetischen Feldes ist die positive symmetrische Ableitung des elektrischen Feldes und die antisymmetrische Ableitung des elektrischen Feldes ist die negative symmetrische Ableitung des magnetischen Feldes:

$\left[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} , B \right] = + \left\lbrace \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} , E \right\rbrace$

$\left[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} , E \right] = - \left\lbrace \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} , B \right\rbrace$

wobei $B, E \in\mathbb H$ . Das symmetrische Produkt ist dabei wie der Antikommutator mit dem Faktor 1/2 definiert als

$\lbrace a, b \rbrace = \frac 1 2 (ab + ba)$

und das antisymmetrische Produkt wie der Kommutator mit dem Faktor 1/2 als

$[a, b] = \frac 1 2 (ab - ba)$

wobei $a, b \in\mathbb H$ . Der Faktor 1/2 stellt nur eine Renormierung dar.

a stellt den Operator dar und b den Operand. Die Konvention, dass der Operator immer links vom Operanden stehen soll, ist bei nichtkommutativen algebraischen Strukturen per Definition aufgehoben. Beim Produkt ab operiert a nach rechts und beim Produkt ba operiert a nach links, was zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Die Ergebnisse der NachRechts- und NachLinks-Operation werden wie beim Klatschen von 2 Händen zusammengeführt.

Der Differentialoperator, den wir oben verwendet haben, ist definiert als

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} = \frac 1 c \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} i + \frac{\mathrm d}{\mathrm dy} j + \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} k$

wobei $\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} \in\mathbb H$ .

Die elektrischen und magnetischen Felder sind definiert als Ableitung des Quaternion-Potentials $A = U + A 1 i + A 2 j + A 3 k$ :

$E = - \left\lbrace \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} , A \right\rbrace$

$B = + \left[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} , A \right]$

wobei $E, B, A \in\mathbb H$ .

Zu beachten ist, dass sie im Vergleich zu den E-Feldern in Vektornotation eine zusätzliche Zeitkomponente haben. Wandelt man diese Darstellung in die übliche Vektornotation um, erhält man die gebräuchlichen Maxwell-Gleichungen.

[Bearbeiten] Umwandlung in die Vektornotation

Die beiden Ableitungen lassen sich folgendermassen umwandeln:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} A = \frac 1 c \frac{\partial U}{\partial t} - div(\vec{A}) + \frac 1 c \frac{\partial \vec{A} }{\partial t} + grad(U) + rot (\vec{A})$

$A \frac{\mathrm d}{\mathrm dr} = \frac 1 c \frac{\partial U}{\partial t} - div(\vec{A}) + \frac 1 c \frac{\partial \vec{A} }{\partial t} + grad(U) - rot (\vec{A})$

Die Maxwellgleichungen werden zu

$rot(\vec{B}) = + \frac 1 c \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + grad(T) = + \frac 1 c \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac { 4 \pi \vec{J} } c$